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一、行程问题——“车过桥”与中途休息

例题1、某列车通过1200米长的隧道要用时33秒，与另一列长150米、速度为50米/秒的列车错车而过需要3秒，则该列车减速一半后，通过一座600米的桥梁所需的时间为？

a 18秒

b 20秒

c 30秒

d 36秒

【基础解析】

根据题干可知，两列火车错车而过，相当于相遇问题，所以经过的路程为两个火车车长之和，速度为两车速度之和，设列车速度为vm/s，车身长为l，因为两车错车而过需要3秒，所以（l 150）/3=(v 50)，l=3v。列车经过1200米隧道需要33秒，总路程长为火车长与1200之和，所以l 1200=33v，已推出l=3v，即1200=30v，v=40m/s。列车速度减半，则速度为20m/s，经过桥梁，总路程为车身长和桥梁长s=600 3×40=720m,t=s/v=720/20=36秒。故本题答案为d。

【易错/陷阱分析】

错车而过的路程长是包括两列火车车身长度之和，过桥过隧道均不能忽视车身长度。

例题2、老李每天早晨9点准时出门散步锻炼身体。他以3千米每小时的速度步行6千米，其中每走20分钟休息5分钟。那么老李锻炼到（）回家。

a 11点20分

b 11点25分

c 11点30分

d 11点45分

【基础解析】

根据题意，老李速度为3千米每小时，路程6千米，即不休息的话，老李走完6千米需要6÷3=2小时。每20分钟休息一次，即一个小时休息60÷20=3次，因为最后一次走完不涉及休息时间，即120分钟的路程中间需要休息5次，休息总时间=5×5=25分钟。所以老李锻炼道家的时间为9点 2小时25分钟=11点25分。故本题答案为b。

【易错/陷阱分析】

每走20分钟休息5分钟，从出门锻炼到回家，则最后一次走到家里不涉及休息时间。行程问题路途中的休息时间不能忽略，注意是否需要计算入总的行驶时间。

二、概率问题——反向计算

例题3、正值毕业季，306宿舍有a、b、c、d四位男同学，他们准备找班主任宋老师合影，若要求宋老师坐正中间，a、b两位同学不能挨着坐，那么总共有多少种坐法?

a 8种

b 12种

c 16种

d 24种

【基础解析】

解法一：根据题干可知，包括老师一共5人合影，老师要在中间，则老师左边和右边各两个人。a、b不能挨着坐，即ab不相邻，则a、b分别在老师左右两边， c、d也分别在老师的左右两边。先让a从剩下的4个位置中选择1个，有c（4,1）=4种坐法，那么b只能从不挨着a的2个位置中选一个，有c（2,1）=2种坐法，剩下的cd两人就是从剩下的2个位置中进行选择，两人进行位置排列有a（2,2）=2种坐法，总共有4×2×2＝16种坐法。故本题答案为c。

解法二：反向考虑。宋老师坐正中间，abcd四位同学总坐法有a（4,4）=24种，若ab两位同学挨着坐，则可捆绑后选择宋老师左边或右边的两个位置，有c（2,1）=2种，两人内部位置排列有a（2,2）=2种，剩余宋老师的另一边则是cd两人排列有a（2,2）=2种坐法，故ab同学挨着坐的情况共有2×2×2=8种。则不挨着坐的情况有24-8=16种。故本题答案为c。

【易错/陷阱分析】

概率问题可从正面求解，也可从反面求解(一般当正面难以求解时)，但反面求解应注意考虑全面或不多算。

三、经济利润问题——利润率

例题4、一商品的进价比上月低了5%，但超市仍按上月售价销售，其利润率提高了6个百分点，则超市上月销售该商品的利润率为：

a 12%

b 13%

c 14%

d 15%

【基础解题】

设该商品上月的进价为100，商品的售价为x，则该商品本月的进价为95，可得（x-95）/95-（x-100）/100=0.06，即x/95-x/100=0.06，解得x=114，则超市上月的利润率为（114-100）/100=14%。故本题答案为c。

【易错/陷阱分析】

一般而言，数学运算中的利润率=利润/成本，资料分析中的利润率=利润/收入。

四、周期日期问题——间隔周期、日期计算

例题5、甲、乙、丙三人均每隔一定时间去一次健身房锻炼。甲每隔2天去一次，乙每隔4天去一次，丙每7天去一次。4月10日三人相遇，下一次相遇是哪天?

a 5月28日

b 6月5日

c 7月24日

d 7月25日

【基础解析】

根据题干可知，甲每隔2天去一次健身房，则甲去健身房的周期为2 1=3天，乙每隔4天去一次健身房，则乙去健身房的周期为4 1=5天，丙每7天去一次健身房，则丙去健身房的周期为7天，所以甲、乙、丙三人同时去健身房的周期为3×5×7=105天。4月10日三人相遇，下一次三人相遇在健身房相遇是在105天之后，此时4月还剩20天，5月有31天，6月30天，7月还剩105-81=24天，即7月24日三人再次相遇。故本题答案为c。

【易错/陷阱分析】

每隔n天去一次，周期为n 1天；每n天去一次，周期为n天。

五、浓度问题——十字交叉法的运用

例题6、现有浓度为12%和24%的盐水各若干克，将其混合后加入50克水，配制成了浓度为18%的盐水600克，则原12%和24%的盐水质量之比是：

a 6:5

b 1:1

c 5:6

d 4:7

【基础解析】

解析一：设浓度为12%的盐水有x克，浓度为24%的盐水有y克，混合后加入50克水得到浓度为18%的盐水600克，则溶液总量600=x y 50，混合前后含盐量为12%x 24%y=18%×600，联立两式可解得x=200、y=350，则原12%和24%的盐水质量之比为200:350=4:7。故本题答案为d。

解析二：根据题干可知，混合得到浓度为18%的盐水600克，则加水前，浓度为12%和24%的盐水混合后得到的溶液的浓度为600×18%/（600-50）=108/550，则根据十字交叉法可得原12%和24%的盐水质量之比=（24%-108/550）：（108/550-12%）=4:7。故本题答案为d。

【易错/陷阱分析】

溶液混合前后溶质的质量保持不变，溶液的质量和浓度发生变化。本题中两溶液混合后加水50克才得到浓度18%的盐水，在运用十字交叉法时不能直接计算。

以上就是数学运算中常见的易错点，另附上一些数学中的基本公式，预祝各位小伙伴们旗开得胜。

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1、工程问题：

工作量=工作效率×工作时间、总工作量=各分工作量之和

2、行程问题：

路程=速度×时间

相遇追及问题公式：相遇距离=（v1 v2）×相遇时间、追及距离=（v1-v2）×追及时间

流水行船问题公式：顺水=船速水速、逆水=船速-水速

往返相遇问题公式：两岸型两次相遇 s=3s1-s2、单岸型两次相遇 s=（3s1 s2）/2（s1为第一次相遇距离，s2为第二次相遇距离）

3、经济利润问题：

利润=售价-成本、利润率=利润/成本、总利润=单利润×销量=总售价-总成本

4、排列组合：

排列和组合的计算公式：a(n,m)=n*(n-1)*(n-2)*……*(n-m 1)；c(n,m)=n*(n-1)*(n-2)*……*(n-m 1)/m!；c(n,m)=c(n,n-m)。

分类原理和分步原理的区别和运用：分类用加法，分步用乘法。

排列组合的常见方法：捆绑法、插空法、隔板法、错位排列、圆桌排列。

5、容斥原理：

两集合容斥公式 a b-a∩b=全部-都不

三集合容斥公式 a b c-(a∩b b∩c a∩c) a∩b∩c=全部-都不

三集合变形公式 a b c-(各个只同时属于两个集合的值的和)-2×a∩b∩c=全部-都不

6、浓度问题：

溶液=溶质溶剂、浓度=溶质/溶液

7、牛吃草问题：

y=（n-x）×t，其中y代表草原量，n代表牛的头数，x代表草生长的速度，t代表牛吃完这片草所用的时间。

8、基础数学公式

（1）常考数列的求和

自然数列：1 2 3 …… n=n*(n 1)/2。[自然数列中，数的个数=(大数-小数) 1]

公差为d的等差数列：a[n]=a[1] (n-1)d;s[n]=(a[1] a[n])/2×n;s[n]=na[1] n(n-1)/2×d。

（2）2、3、5的倍数的数字特征

2的倍数=该数能被2整除：数的最末一位数字是一个偶数;

5的倍数=该数能被5整除：数的最末一位数字是0或5;

3(9)的倍数=该数能被3(9)整除：数的各个位上的数字之和是3(9)的倍数。

（3）同余定理

差同减差(选除数的最小公倍数，然后“减差”)

和同加和(选除数的最小公倍数，然后“加和”)

余同取余(选除数的最小公倍数，然后“加余”)

（4）倍数特性

若a:b=m:n（m、n互质），则a是m的倍数，b是n的倍数，a b（a-b）是m n（m-n）的倍数。

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